【三次根号下i什么意思】“三次根号下i”是一个数学表达式，指的是对虚数单位 $ i $ 进行三次方根运算。在复数范围内，每个非零复数都有三个不同的三次根。因此，“三次根号下i”实际上有三个不同的解，分别对应于复平面上的三个不同位置。
一、
在数学中，$ i $ 是虚数单位，定义为 $ i = \sqrt{-1} $。三次根号下 $ i $ 表示求满足 $ x^3 = i $ 的所有复数解。由于复数的代数基本定理，这个方程将有三个不同的解，这些解分布在复平面上，形成一个等边三角形的顶点。
为了找到这些根，可以使用极坐标形式和欧拉公式进行计算。通过将 $ i $ 转换为极坐标形式，再利用根的公式，可以得到三个不同的三次根。
二、表格展示
| 根的编号 | 极角（弧度） | 模长 | 复数表示 | 代数形式 |
| 第1个根 | $ \frac{\pi}{6} $ | 1 | $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i $ |
| 第2个根 | $ \frac{5\pi}{6} $ | 1 | $ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) $ | $ -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i $ |
| 第3个根 | $ \frac{9\pi}{6} $ | 1 | $ \cos\left(\frac{9\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{9\pi}{6}\right) $ | $ -i $ |
三、说明
- 所有三次根的模长都是 1，因为 $
- 三次根之间的角度差为 $ \frac{2\pi}{3} $，即 120 度，这使得它们在复平面上均匀分布。
- 最后一个根是 $ -i $，因为 $ (-i)^3 = -i^3 = -(-i) = i $，符合原方程。
四、结语
“三次根号下i”并不是一个唯一的数值，而是指三个复数解。理解这一概念需要结合复数的极坐标表示和根的性质，有助于更深入地掌握复数运算和解析几何中的相关知识。
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