【二进制算法公式和示例】在计算机科学中，二进制是基础的数制系统，广泛应用于数据存储、运算和逻辑控制。理解二进制算法及其应用对于学习编程、数字电路和信息处理具有重要意义。以下是对二进制算法相关公式与示例的总结。
一、二进制基本概念
二进制是一种以2为基数的数制系统，只包含两个数字：0 和 1。每一位代表一个2的幂次方，从右到左依次递增。例如，二进制数 `1011` 表示的是：
```
1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11（十进制）
```
二、常用二进制算法及公式
| 算法名称 | 公式/描述 | 示例说明 | |
| 二进制转十进制 | $ \sum_{i=0}^{n} b_i \times 2^i $，其中 $ b_i $ 是第i位的二进制数字 | `1101` → 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 13 | |
| 十进制转二进制 | 除以2取余法，直到商为0，将余数倒序排列 | 13 ÷ 2 = 6 余1；6 ÷ 2 = 3 余0；… → `1101` | |
| 二进制加法 | 按位相加，逢2进1 | `1011` + `0110` = `10001` | |
| 二进制减法 | 按位相减，借位规则类似十进制 | `1011` - `0110` = `0101` | |
| 二进制与运算 | 对应位都为1时结果为1，否则为0 | `1011` & `0110` = `0010` | |
| 二进制或运算 | 对应位至少有一个为1时结果为1 | `1011` | `0110` = `1111` |
| 二进制异或运算 | 对应位不同时为1，相同则为0 | `1011` ^ `0110` = `1101` |
三、典型应用示例
示例1：二进制加法
计算 `1101` + `1011`
```
1101
+ 1011
11000
```
结果为 `11000`（即24）。
示例2：二进制与运算
计算 `1011` & `0110`
```
1011
& 0110
0010
```
结果为 `0010`（即2）。
示例3：十进制转二进制
将十进制数15转换为二进制：
15 ÷ 2 = 7 余1
7 ÷ 2 = 3 余1
3 ÷ 2 = 1 余1
1 ÷ 2 = 0 余1
倒序排列得 `1111`。
四、小结
二进制算法是计算机底层运行的基础，掌握其原理和应用有助于提升对数字系统和程序逻辑的理解。通过上述公式和示例可以看出，二进制运算虽然简单，但在实际应用中却非常强大。无论是数据处理还是逻辑控制，二进制都是不可或缺的工具。
表格总结：
| 项目 | 内容 |
| 二进制定义 | 以2为基数，仅含0和1的数制系统 |
| 转换方法 | 二进制 ↔ 十进制（乘权求和 / 除2取余） |
| 基本运算 | 加法、减法、与、或、异或等 |
| 应用场景 | 数据存储、逻辑控制、编程、数字电路设计 |
| 重要性 | 构成计算机运算和数据表示的核心基础 |
