在数学中，一元二次方程是形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。这类方程的解可以通过判别式来判断其根的情况。判别式公式为：

$$

\Delta = b^2 - 4ac

$$

当判别式 $ \Delta > 0 $ 时，方程有两个不相等的实数根；

当 $ \Delta = 0 $ 时，方程有两个相等的实数根（即重根）；

当 $ \Delta < 0 $ 时，方程无实数根，只有复数根。

题目给出的方程是：

$$

x^2 - 4x + m - 1 = 0

$$

我们可以将其与标准形式对比，得出：

- $ a = 1 $

- $ b = -4 $

- $ c = m - 1 $

根据题意，该方程有两个相等的实数根，因此判别式必须等于零：

$$

\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) = 0

$$

计算得：

$$

16 - 4(m - 1) = 0

$$

展开并整理：

$$

16 - 4m + 4 = 0 \\

20 - 4m = 0 \\

4m = 20 \\

m = 5

$$

因此，当 $ m = 5 $ 时，原方程变为：

$$

x^2 - 4x + 5 - 1 = x^2 - 4x + 4 = 0

$$

这个方程可以进一步因式分解为：

$$

(x - 2)^2 = 0

$$

所以，方程的两个根都是 $ x = 2 $，即为两个相等的实数根。

通过以上分析可以看出，利用判别式的性质可以快速判断一元二次方程的根的情况，并且在本题中成功求出了参数 $ m $ 的值，使得方程满足“有两个相等的实数根”的条件。这种解题思路不仅适用于本题，也可以推广到其他类似的问题中，具有较强的通用性和实用性。